问题分解
这个问题可以分解为以下几个小问题：
解决问题
现在让我们逐步解答这些问题：
问题1：最早的设计出现的世纪是什么？
设计的历史可以追溯到人类文明的起源。最早的设计可以追溯到公元前30,000年左右的旧石器时代，当时的人类开始制作工具和装饰品。然而，如果我们把设计定义为有意识地创造出满足特定功能或审美需求的物品，那么最早的设计可能出现在新石器时代（约公元前10,000年），当时的人类开始制作陶器和编织物。
问题2：最早的设计的案例是什么？
一个著名的早期设计案例是公元前3,500年左右的苏美尔人的陶器。这些陶器不仅功能性强，而且装饰精美，显示了当时的设计水平。另一个著名的早期设计案例是公元前2,500年左右的埃及金字塔，这些金字塔不仅是建筑工程的奇迹，也是设计艺术的杰作。
解题答案
所以，最早的设计出现在 $\boxed{新石器时代（约公元前10,000年）}$，一个著名的早期设计案例是 $\boxed{苏美尔人的陶器}$ 和 $\boxed{埃及金字塔}$。